課程資訊
課程名稱
微積分二
Calculus(Ⅱ) 
開課學期
104-2 
授課對象
理學院  數學系  
授課教師
齊震宇 
課號
MATH1210 
課程識別碼
201 49580 
班次
 
學分
全/半年
半年 
必/選修
必修 
上課時間
星期二6,7(13:20~15:10)星期四6,7,10(13:20~18:20) 
上課地點
天數102天數101 
備註
微積分甲下用此課替代。上課地點:數學研究中心101室
總人數上限:80人 
Ceiba 課程網頁
http://ceiba.ntu.edu.tw/1042MATH1210calculus 
課程簡介影片
 
核心能力關聯
核心能力與課程規劃關聯圖
課程大綱
為確保您我的權利,請尊重智慧財產權及不得非法影印
課程概述

(本課程是上學期【微積分一】的延續。)

數與形的探索是數學的核心,發生在自然科學與量化學科的各個角落。從公元前埃及人丈量尼羅河氾濫土地面積、各古文明校正曆法與觀測星象等實用目的開始,直至人類企圖認識天體運行與各種力學現象背後可能隱藏的深邃卻可以理性理解的原理,過程中混合了古希臘人追求純粹理性的產物──歐氏幾何,以及它的代數化──由費馬(Fermat)與笛卡兒(Descartes)所發展的坐標幾何,其間經歷約兩千年,終於在十七世紀時由牛頓(Newton)與萊布尼茲(Leibniz)集大成發展成了一個完整的思想體系──微積分──微分與積分的統稱,並將之用於解決各種科學問題。這可以說是今日所謂的「數學分析」的黎明。

積分的概念始於求取形體的面積,在阿基米德(Archimedes)之前的古代,只有最簡單的圖形如矩形、三角形、圓形等的面積能被求出;接著利用十分精巧的求和方法,他能求得利用圓錐曲線與直線構成的一些圖形的面積。然而,這些精巧的方法無法處理更複雜的圖形。微分的概念則源於求取變化率如速度、斜率等。直到十七世紀微分與積分之間互逆的關聯才逐漸明朗,這個關聯現在被稱為「微積分基本定理」,它提供了有效計算各類面積、體積或者說更一般的和(如轉動慣量)的方法,以及許多古代人意想不到的抽象應用。

其後,在十八世紀裡,承接這些思想的後繼者們──伯努利家族(the Bernoulli family)、歐拉(Euler)、拉格朗日(Lagrange)與拉普拉斯(Laplace)等人繼續在剛體運動、天體力學、流體力學、機械、工程等領域攻城掠地,以微積分為基礎作出了廣泛而細緻的應用。這個時期人們對微積分技巧的掌握雖然更加圓熟,但同時也發現了許多直覺上似乎可行的運算會導致無法自圓其說的謬誤。

從十八到十九世紀,微積分不但徹底滲透了當時幾乎所有的科學領域,涵蓋了力學、熱、電與磁等現象的研究,被複數(complex numbers)加持後的微積分更是如虎添翼,發展成了「複變函數論」,一方面提供了在許多科學計算上威力強大的工具,更被有效地用來研究數論,例如與整除性及質數分布有關的許多問題。在這個數學分析結實纍纍的時期,開始有越來越多數學家──如拉格朗日、柯西(Cauchy)、迪利赫雷(Dirichlet)、黎曼(Riemann)與外爾斯特拉斯(Weierstrass)等──企圖化解前述那些來自於「無限制地進行直覺上合理的運算」的謬誤。他們開始面對諸如「數列與級數的收斂或發散是什麼意思?」、「對什麼樣的函數可以進行微積分操作?」、「曲線、區面是什麼?長度、面積又是什麼呢?」乃至於「(實)數是什麼?」等「簡單的」問題。這是個漫長而艱辛的過程,一切努力漸漸往一個目標聚集──為數學分析提供一個穩固的、無疑義的邏輯基礎。在1875年起的十年間,康托爾(Cantor)提出了現代集合論的基礎。集合論是人類思想史上的一次大跳躍,最基本的集合論本身想法單純,並沒有太複雜的結構,但它的重要性在於提供了人們一種思考方式的新出發點。以往的數學對象多半是外在世界提供的,數量與形狀的存在都基於它們被賦予了的現實世界中的意義;有了集合論以後,從最基本的集合與集合操作出發,人們能逐步「構造出」以往已經熟悉的各種體系──自然數、整數、有理數、實數、直線、平面、空間物件等,能給極限、連續性等直覺概念以嚴格的邏輯描述,作為推論出新事實的基礎;能「操作」高維度空間,甚至能「創造」肉眼不可見的「空間」。集合論的想法在最初並不被人們接受甚至受到猛烈批判,但在二十世紀初幾乎已經成為數學分析與許多其他數學分支的基礎語言。

一般的微積分甲、乙與數學系的微積分(數微)課程有甚麼決定性的差異呢?大略說來,前者(微甲、乙)就像是集合論出現前的微積分,從較為「直觀」的幾何與代數概念出發來推導量與量之間的關聯(或說與函數有關的各種性質),並著重實例的演練。大部分的推理都有一定程度的清晰,然而當碰到一些概念如極限、連續性等,則只會在所考慮的函數在直覺上具有比較良好的行為時才談論,而且避免談論「怎樣的函數才算是行為良好」這樣的問題。後者(數微)則將好一部分的工夫用在把前者避談的關鍵點講清楚,剩下的力氣則致力於這種邏輯嚴格的處理方式與直觀想法間的連接與比較。仍有實例的演練,但總量也許會較少一些。

數學是什麼?這是個大哉問,就算有個答案,那麼數學一定要建立在集合論之上嗎?人們的見解也許會隨著時代而變,但當今的數學分析的基礎是如此建立的,這便是這門課將要引領大家略窺一二的題材。 

課程目標
我們將從最單純的概念出發,逐步展示出微積分這門研究連續量的學問的整體圖像。在介紹每個新概念的同時,我們也會以各種例子進一步地澄清這些概念或說明他們的使用時機與方式。以下我們列出的是一整學「年」的課程目標。

本課程嚴重依賴於上學期【微積分一】的內容,強烈建議欲修習本課程者預習下方【課程要求】條目中所列學習資源(如果沒有修上學期【微積分一】,建議在開學前盡早跟授課老師約時間面談)。上學期課程涵蓋(或要求參與者自修)以下題材:

1. 簡易邏輯;基礎集合論:集合與元素、子集合及其操作(聯集/交集/差集)、映射、基數等概念。這部分著重在確立本課程將使用的符號系統與論證標準。

2. 數的基本性質,如代數結構(四則運算)、序結構(大小關係/不等式)等。

3. 實數的不間斷性(完備性);實數子集的上界、下界、最小上界與最大下界;數列的收斂與發散;數列極限的性質;單調數列的歛散性;區間套定理;Cauchy數列;有界數列的上極限與下極限。收斂數列實例:e、正數的冪次(指數函數)。

4. 級數(series)的收斂與發散(I);交錯級數;絕對收斂與條件收斂。

5. 函數的極限及其性質;連續函數連續映射;均勻連續性;距離(metric)概念與賦距空間的例子;開集與閉集。

6. 歐氏空間中有界集的諸性質:有界序列必有收斂子列(Bolzano-Weierstrass定理);有界閉集的任一開覆蓋必有有限子覆蓋(Heine-Borel定理);開覆蓋的Lebesgue數;有界閉集上的連續函數必有最大值與最小值;有界閉集上的連續函數必均勻連續。

7. (單變數)函數的微分/導數;導數符號與函數的單調性;函數達到局部(內點)極大值與極小值的必要條件;二次導數與凸性(convexity);Rolle定理與均值定理(the mean value theorem);L'Hospital法則;Taylor展開及其餘項與應用。

8. 四則運算與求導;鏈鎖律;反函數的連續性與求導;初等函數(如多項式、冪函數、三角函數、指數函數與對數函數)求導。

9. 微積分基本定理;有界函數的上和、下和與上積分、下積分;Darboux可積函數;Riemann和與Riemann可積函數;Darboux可積性與Riemann可積性的等價性;關於Darboux-Riemann可積性的Lebesgue判別法。

10. 積分技巧:變數代換(代入與化約);分部積分(integration by parts);e的超越性;有理函數與三角積分的計算實例;瑕積分;積分號下求積、求導及應用。Wallis公式與Stirling公式。

11. 函數序列/函數級數的收斂;均勻收斂性與逐項求導、求積分;

12. 級數的收斂與發散(II):比例檢驗(ratio test);開方根檢驗(root test);冪級數理論初步:冪級數的收斂半徑與在收斂圓盤內的收斂性質;冪級數延收斂圓半徑向邊界取極限的Abel定理(敘述)與求級數和的應用。

以下為本學期【微積分二】預計涵蓋的題材:

1. 再訪指數與對數函數(I):它們的求導;利用積分構造函數。

2. Abel求和法與Abel檢驗;冪級數延收斂圓半徑向邊界取極限的Abel定理(證明);Dirichlet檢驗。

3. 再訪指數與對數函數(II):以冪級數定義複變數的指數函數與三角函數(三角函數是什麼?);指數函數與三角函數的週期性;──Euler公式。

4. Fourier級數與其應用。

5. 參數曲線;以角度為參數的曲線的極坐標表示法。

6. 多變數函數的可微性與其導數;多變數鏈鎖律;隱函數求導。

7. 隱函數與反函數定理;Lagrange乘子法求條件極值。

8. 多重積分;逐次積分:Fubini定理;積分號下求導回顧;積分的變數變換公式。

9. 參數曲面;曲面積分;微積分基本定理的高維度推廣:Green-Stokes定理。

10. (若時間允許)專題選講:

A. 常微分方程解的存在性、唯一性與對初始條件的光滑依賴性定理:Picard疊代法。

B. Arzela-Ascoli定理;Euler折線法構造常微分方程的解。

C. 複變函數論初步:Cauchy積分定理與積分公式;留數計算。

D. 圓周率pi的超越性。

E. 三維空間中的曲線與曲面理論;Gauss Theorema Egregium;Gauss-Bonnet定理。 
課程要求
本課程嚴重依賴於上學期【微積分一】的內容,強烈建議欲修習本課程者預習下列學習資源。

1. 關於簡易邏輯與集合論基礎,可參考以下ppt檔與影片:

ppt

https://www.space.ntu.edu.tw/navigate/s/69B86BA37AF84297827657E13FC030C2QQY

簡易邏輯影片:
https://www.youtube.com/watch?v=W4yx397Wx6E
(13:53處「...單位圓的周長,對不對? 或者說,跟直徑有個比例的關係叫 π」一句中的「單位圓的周長」應該要改成「單位元周長的一半」。16:51 處也該改為「直徑是1的圓的周長」。最後,1:01:27處「如果討論的群體是全體整數...」的 「全體整數」要改成「全體有理數」,ppt 已更正。)

集合與映射影片:
https://www.youtube.com/watch?v=2H1Z6d_6lPk

集合基數問題討論:
https://www.youtube.com/watch?v=6UWja0q4fek

這部分課程的材料角色較特殊,是以確立未來本課程的共通語言(邏輯、集合)而做的準備,概念與符號相對來說較陌生,可能會需要多花一些時間才能熟悉。關於邏輯的部分,如果一時看不懂,不要害怕或覺得挫折,大膽跳過,以後在課程中對照其他內容慢慢比較印證。

2. 【微積分一】課程影片列表:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLVJXJebpO4PhAc21JW-cYbzT3sq4s7Qg8 
Office Hours
 
參考書目
高木貞治, 解析概論(中譯本:高等微積分,文笙出版社)

Richard Courant and Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis (I) (II)

Protter and Morrey, A first course in real analysis 
指定閱讀
高木貞治, 解析概論(中譯本:高等微積分,文笙出版社) 
評量方式
(僅供參考)
 
No.
項目
百分比
說明
1. 
期初測驗 
0% 
本項考試於開學第二周舉行,已選課成功的同學若未通過本項測驗則不予通過本門課(也就是無論如何都會被當的意思)。 請注意這不是「擋修」的措施,沒考過還是有選課的可能。測驗範圍為上學期【微積分一】的所有內容,真正有興趣的同學應該利用開學前的時間參考【微積分一】的影片以及期中、期末測驗: 影片: https://www.youtube.com/playlist?list=PLVJXJebpO4PhAc21JW-cYbzT3sq4s7Qg8 期中考: https://www.space.ntu.edu.tw/navigate/s/22C0DF6ECCB84D33A45BC83728169C10QQY https://www.space.ntu.edu.tw/navigate/s/EB664C5FF0244AE3BA59B062BE9E9D76QQY https://www.space.ntu.edu.tw/navigate/s/3C165D040391421E8F8B7EBC71A7A377QQY https://www.space.ntu.edu.tw/navigate/s/2091B38C99E3486C85F686EF57E14975QQY 期末考: https://www.space.ntu.edu.tw/navigate/s/E43CBB34A91E40E79BC980F416227B0CQQY https://www.space.ntu.edu.tw/navigate/s/C95EDC34C0C046C6BDB98EEDB5DCB32FQQY https://www.space.ntu.edu.tw/navigate/s/F4FEA3E031F7496DB25FCECCB0BADF80QQY https://www.space.ntu.edu.tw/navigate/s/D947F0DB764D4F488BBDF22207832E0CQQY 
2. 
期中測驗 
30% 
 
3. 
期末測驗 
30% 
 
4. 
作業繳交與討論 
30% 
 
5. 
小考 
10% 
 
 
課程進度
週次
日期
單元主題