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課程概述 |
這一門課, 是接著微積分之後, 為將來各項應用所準備的數學課程。
所涉及的應用, 多半是物理的, 也有少部分是幾何的; 相對於純粹數學理論論而言, 幾何與物理都可以說是「應用」。就像所有應用的工具課程一樣, 應用的部分可以說是舞台, 而數學工具反而是台上的主角; 也就是說, 所有數學方法的引入, 都是針對著某一項應用,而終於也歸結於某項應用, 但數學方法的討論, 仍然是課程的核心。
由於課程時間的限制, 某些嚴謹的數學証明將被省略, 而代之以直觀的描述或反例的分析。
它約略可以分為五個部分:
1.向量分析
這包括著「多變數純量函數及向量函數」的微分與積分, 三度空間的曲線、曲面理論, 以及相當於「微積分基本定理」的「積分與微分關係」。 所謂「舞台」, 則是電場、磁場、重力場等力場和流體,以及相應的能量變化和流體體積變化; 曲線曲面的幾何, 則僅略微涉及。
2.矩陣代數
這包括著矩陣的對角化, 二次形式的特微值等; 「舞台」則是 n維空間的座標幾何, 以及質點在速度場內的軌跡解。
3.常微分方程
這包括著一階、二階、與線性聯立微方的解法, 解的性質的討論, 並將所介紹的方應用在各種物理和幾何問題上。
4.富里葉分析
從波動方程引入正弦波的疊合, 並以 Hilbert Space 的方法,研究富氏展開的各種性質。
5.偏微分方程
僅約略涉及簡單的邊界值問題。
以上內容, 在一年的時間內, 略嫌過多, 所以將視學習狀況, 稍作彈性調整。重點還是在建立學生對各個數學工具的「手感」, 培養面對問題的思考能力, 打下進入更深層探討的基礎, 所以, 雖然是以應用為主, 並非僅僅側重計算的熟練度。
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