課程資訊
課程名稱
代數幾何
Algebraic Geometry 
開課學期
102-2 
授課對象
理學院  數學研究所  
授課教師
齊震宇 
課號
MATH5146 
課程識別碼
221 U3600 
班次
 
學分
全/半年
半年 
必/選修
選修 
上課時間
星期一7,8(14:20~16:20)星期四3,4(10:20~12:10) 
上課地點
 
備註
上課教室:數學科學中心101教室(原新數學館101教室)
總人數上限:20人 
Ceiba 課程網頁
http://ceiba.ntu.edu.tw/1022AG 
課程簡介影片
 
核心能力關聯
核心能力與課程規劃關聯圖
課程大綱
為確保您我的權利,請尊重智慧財產權及不得非法影印
課程概述

這是一門代數幾何的入門課程。代數幾何研究多項式方程組解集的「幾何性質」。從介紹代數多樣體的基本理論開始,接著引進 sheaf 與 scheme 的概念,並發展 scheme 上 quasicoherent/coherent sheaf 的 cohomology 理論。這些題材為進一步學習代數幾何或探索其相關應用的閉備知識。

課程的一部分極有可能以「參與者課前先預習某些指定的資料(網路影片或書籍論文),再於課堂上討論所預習的內容及其延伸」的方式進行,希望有興趣選修/旁聽者能盡快來信(chi@math.ntu.edu.tw),以利我傳遞即時的訊息。來信請註明姓名與單位級職,最好附加數學知識的背景(非絕對必要)。 

課程目標
(一)初期目標

了解仿射空間與射影空間中代數多樣體的基本性質,重點在熟悉交換代數的幾何面向,以及透過例子獲得幾何值觀。此部分主要的參考資料為

J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course

A. Onishchik and E. Vinberg, Lie Groups and Algebraic Groups, Ch. 2

I. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I

(二)中、後期目標

引進 sheaf(建議先觀看我在 Youtube 上的複幾何影片 2013/09/23 與 26 兩集)與 scheme 的概念,並發展 scheme 上 quasicoherent/coherent sheaf 的 cohomology 基礎理論。主要會參考

Grothendieck and Dieudonne, Elements de Geometrie Algebrique (EGA) I-IV

Lei Fu, Algebraic Geometry

發展 scheme 基礎理論的同時,將視參與者的學習狀況試著介紹基礎理論的初步應用,可能的題材有 toric geometry、the Grothendieck-Riemann-Roch Theorem 與 Hilbert schemes。 
課程要求
我們會大量使用交換代數與同調代數,並漸漸增加 category 術語的使用。

(A) 交換代數:主要參考資料為

H. Matsumura, Commutative Algebra (全書)

希望參與者能在課程開始前先掌握其 Ch. 1 至 5,並在課程進行的同時熟悉剩下的部分。該書已經假設了一些基本的交換代數,可參考

M. Atiyah and I. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra 的 Ch. 1 至 9。

我們假設參與者熟悉 fields 與基本的 Galois Theory,可參考

N. Bourbaki, Algebra II 的 Ch. V 或

O. Zariski and P. Samuel, Commutative Algebra I 的 Ch. 2。

(B) 同調代數:最好有過代數拓樸的經驗,例如至少看懂三個我在 Youtube 上的代數拓樸影片(非絕對必要)。必須知道

chain/cochain complexes and their homology/cohomology

chain homotopy

the long cohomology exact sequence induced by a short exact sequence of cochain complexes

必需知道 Injective modules 與 projective modules 的基本性質,這些對代數幾何及交換代數本身的了解都是必要的,可參考

莫宗堅,代數學(下)的最後一章。

此外課程中後段還會用到 spectral sequences,可參考

H. Cartan and S. Eilenberg, Homological Algebra 的 Ch. XV. Spectral Sequences。

(C)關於 category,必須知道什麼是

categories, objects,

morphisms, iso/mono/epimorphisms

contravariant/covariant functor

natural transformations and natural equivalences of functors

representable functors and the Yoneda Lemma

以及 abelian category 的基本理論。

(D) 點集拓樸基礎:必須知道什麼是

topological spaces

subspace topology and quotient topology

continuous maps

compactness, connectedness, axioms of separation

可參考 C. Janich, Topology (全書)。 
預期每週課後學習時數
 
Office Hours
另約時間 備註: 個別與授課者逐次約定時間 
參考書目
點集拓樸、交換代數與同調代數:

N. Bourbaki, Algebra I & II,

N. Bourbaki, Commutative Algebra

H. Cartan and S. Eilenberg, Homological Algebra

C. Janich, Topology

H. Matsumura, Commutative Algebra

H. Matsumura, Commutative Ring Theory

莫宗堅, 代數學(下)

O. Zariski and P. Samuel, Commutative Algebra I & II

代數幾何:

Grothendieck and Dieudonne, Elements de Geometrie Algebrique (EGA) I-IV

Lei Fu, Algebraic Geometry

J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course

Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves

D. Mumford, Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties

D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes

D. Mumford, Lectures on Curves on an Algebraic Surface

I. Shefarevich, Basic Algebraic Geometry I

A. Onishchik and E. Vinberg, Lie Groups and Algebraic Groups, Ch. 2 & 3, 
指定閱讀
交換代數:

H. Matsumura, Commutative Algebra

古典代數幾何:

J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course

D. Mumford, Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties

Scheme 理論:

Lei Fu, Algebraic Geometry 
評量方式
(僅供參考)
   
課程進度
週次
日期
單元主題