課程資訊
課程名稱
李群與代數群導論
Introduction to Lie groups and algebraic groups 
開課學期
106-1 
授課對象
理學院  數學研究所  
授課教師
齊震宇 
課號
MATH5057 
課程識別碼
221 U8040 
班次
 
學分
3.0 
全/半年
半年 
必/選修
選修 
上課時間
星期一2,3(9:10~11:10)星期四2(9:10~10:00) 
上課地點
 
備註
上課教室:新數103
總人數上限:20人 
Ceiba 課程網頁
http://ceiba.ntu.edu.tw/1061MATH5057_LGAG 
課程簡介影片
 
核心能力關聯
本課程尚未建立核心能力關連
課程大綱
為確保您我的權利,請尊重智慧財產權及不得非法影印
課程概述

李群在數學以及一些科學領域中一方面扮演了基本的角色,一方面則提供了許多可直接計算的實例。將李群概念中的光滑結構改換成代數多樣體的結構,便得到了代數群的概念。李群與代數群的理論中既有許多共通之處,其處理手法又各自有其獨特性。在本課程中,我們將介紹李群與代數群的基礎理論。

請注意,台灣大學學生欲選修本課程需索取授權碼。選課者需做相當程度的預習工作(見下方「課程要求」項目),並在開學前與授課者約時間面談一次(請寄email至chi@math.ntu.edu.tw),經授課者同意後方能取得授權碼。其他學校學生在選課系統上或許無索取授權碼的限制,但強烈建議一樣要跟授課者面談,確認事前準備的狀況與需要,方能有好的學習成效。  

課程目標
我們預備研讀以下書籍的全部內容:
Onishchik and Vinberg, Lie groups and algebraic groups
(請注意,同樣的作者有好幾本書有類似的標題,不要搞混了!)
這本書的本文很少,大部分的主要內容都以Problems的方式呈現。較難的Problems在每節後方均有頗有幫助的提示。

1. 我們假設參加者在開學前已經理解第一章(共四節)關於李群的基礎知識,或至少在開學後能夠很快速地自修這部分。目前部分台大的學生已經用seminar的方式結束了1.1全部以及1.2的一部分。九月起至開學前會繼續1.2至1.4。如欲參加,請寄email至chi@math.ntu.edu.tw詢問齊老師。

2. 開學後授課者將講述第二、三兩章的大部分內容,著重在代數群及其代數線性表現的基本結構定理(例如Chevalley定理─關於商的代數多樣體結構)、一些基本的分解定理(如Jordan分解)以及可解(solvable)代數群的基本理論。這部分亦將介紹古典代數幾何中的一些基本概念,如代數多樣體(algebraic varieties)與有理映射(rational maps)等。

3. 授課者講述第二、三兩章的期間,參加者應開始閱讀第四章起的內容。第四、五兩章乃分別關於複與實半單李群。授課者講述完代數群後,參加者將輪流報告第四章起的所有內容。

這樣的課程安排是希望在短時間內能夠接觸到在李群的知識中關於半單李群這部分基本而重要的理論,因此並沒有採用一般介紹李群的方式。一般的介紹多半是從緊緻李群及其表現出發(如參考書目[1]、[2]),利用不變積分來建立理論,再不然就是要建立一個更完整、巨大的架構(如參考書目[3])。後面的這些途徑也都是相當重要的,同時也有了許多很好的學習材料,希望參加者們能自行閱讀。 
課程要求
我們假設參加者熟悉以下內容

線性代數:向量空間、線性獨立、基底、維數、線性映射的定義與基本性質

群論:子群、陪集(cosets)、商集合(quotient set)、三個基本的同構定理、群作用(group action)

常微分方程:初始值問題解的存在與唯一性以及對參數的光滑依賴性(smooth dependence)

點集拓樸:拓樸空間、開/閉集、連續映射、緊緻性、連通性

微分流形:微分流形、子流形、切空間(tangent space)、可微映射與其導出的切映射、反函數定理

交換代數:可換環、理想(ideal)、商環、張量積(tensor product)、多項式環的基本性質 
預期每週課後學習時數
 
Office Hours
備註: 開學後決定 
參考書目
[0] A. L. Onishchik and E. B. Vinberg, Lie groups and algebraic groups

[1] J. F. Adams, Lectures on Lie groups

[2] T. Bröcker and T. tom Dieck, Representations of compact Lie groups

[3] A. W. Knapp, Lie groups beyond an introduction 
指定閱讀
A. L. Onishchik and E. B. Vinberg, Lie groups and algebraic groups 
評量方式
(僅供參考)
 
No.
項目
百分比
說明
1. 
口頭報告 
50% 
 
2. 
習題繳交 
50% 
 
 
課程進度
週次
日期
單元主題
第1週
9/11,9/14  9/11 仿射空間與其中的子多樣體;Hilbert零點定理;抽象仿射多樣體與其上的多項式環

9/14 仿射多樣體的卡氏積與閉子多樣體;正則函數的概念;預層(presheaf)與層(presheaf) 
第2週
9/18,9/21  9/18 在仿射多樣體 Y 中,由多項式 f 決定的主開集(principal open set)上的正則函數環同構於多項式環的局部化 k[Y]_f

9/21 賦環空間(ringed space)與 k-空間。(抽象)多樣體的概念 
第3週
9/25,9/28  9/25 局部閉子多樣體;k-空間與多樣體的卡氏積

9/28 射影空間與射影多樣體 
第4週
10/02,10/05  10/02 完備多樣體;射影空間的完備性

10/05 有理映射;維度與餘維度; 
第5週
10/09,10/12  10/09 國慶連假,擇日補課。

10/12 壓制映射的纖維維度;正則映射的纖維與像(Chevalley定理) 
第6週
10/16,10/19  10/16 光滑性;多樣體的光滑點構成稠密閉集