課程名稱 |
複分析 Complex Analysis (Honor Program) |
開課學期 |
111-1 |
授課對象 |
理學院 數學系 |
授課教師 |
林學庸 |
課號 |
MATH5231 |
課程識別碼 |
221 U6570 |
班次 |
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學分 |
4.0 |
全/半年 |
半年 |
必/選修 |
選修 |
上課時間 |
星期二6,7(13:20~15:10)星期四6,7(13:20~15:10) |
上課地點 |
天數102天數102 |
備註 |
此課程研究生選修不算學分。 限學士班學生 且 限學士班二年級以上 總人數上限:40人 |
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課程簡介影片 |
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核心能力關聯 |
本課程尚未建立核心能力關連 |
課程大綱
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為確保您我的權利,請尊重智慧財產權及不得非法影印
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課程概述 |
本課程主要內容為單複變解析函數理論,以及延伸題材。(若有同學想加選,請直接至NTU cool登記意願。) |
課程目標 |
全純函數與解析函數、共形變換、黎曼映射定理、解析延拓等基本定理、柯西積分公式、Rouché 定理、亞純函數、留數定理、奇點、整函數、Gamma 函數、zeta 函數、調和函數、質數分佈定理、黎曼曲面(定義和例子)、球面幾何、單值化定理(敘述)。 |
課程要求 |
每週指定課後閱讀及作業。
作業及考試評分標準:如果是滿分為3分的習題,你將獲得
3 分:如果你的解答和證明是完整、正確,且最佳的。
2 - 2.5 分:如果除了微小疏忽,你的解答和證明是正確的。
0.5 - 1.5 分:如果只有寫出部份證明、或是沒有證明的正確解答。
0 分:如果幾乎沒寫下任何內容。 |
預期每週課後學習時數 |
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Office Hours |
每週四 15:20~16:20 備註: 習題課為每週二第七節,從第二週開始。
助教(信箱;Office Hour):
蘇品丞(r11221009@ntu.edu.tw;二8,天數446)
蔡以心(b08201029@ntu.edu.tw;五9) |
指定閱讀 |
第一週(9/6)
Ahlfors: 1 - 2 或 Tao: 246A Notes 0, 1 (harmonic functions 可先略過)
Ahlfors: 3.1, 3.2
第二、三週(9/13, 9/20)
Ahlfors: 4.1, 4.2, 4.4 或 Tao: 246A Notes 2, 3(Jordan curve theorem 證明可跳過)
第三週新增(9/20)
Ahlfors: 4.3, 5.1或 Tao: 246A Notes 4.1
第四週(9/27)
Munkres: 46, 47
Stein-Shakarchi: 2.5.2, 8.3.2
Ahlfors: 4.5 或 Tao: 246A Notes 4.2, 4.3
第五週(10/4)
Conway: VIII.3
Ahlfors: 5.2.1 - 5.2.4 或 Tao: 246B Notes 1.2 - 1.4
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參考書目 |
本課程無指定書籍。坊間及網路上有許多不錯的複分析的教材,可參考以下討論串:
https://math.stackexchange.com/questions/30749/what-is-a-good-complex-analysis-textbook-barring-ahlforss
https://mathoverflow.net/questions/332404/what-is-a-really-good-book-for-complex-variables
另一本偏向幾何觀點的新書:
(Saeed Zakeri) A Course in Complex Analysis
Terence Tao 課程部落格:
https://terrytao.wordpress.com/category/teaching/246a-complex-analysis/
https://terrytao.wordpress.com/category/teaching/246b-complex-analysis/
Richard Borcherds 教學影片:
https://www.youtube.com/watch?v=qXWRL6NHlWc&list=PL8yHsr3EFj537_iYA5QrvwhvMlpkJ1yGN
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黎曼曲面參考資料:
Donaldson: Riemann surfaces
Miranda: Algebraic Curves and Riemann Surfaces
Farkas-Kra: Riemann surfaces
Forster: Lectures on Riemann Surfaces
更多資料可參考
https://math.stackexchange.com/questions/135047/perspectives-on-riemann-surfaces/135108#135108 |
評量方式 (僅供參考) |
No. |
項目 |
百分比 |
說明 |
1. |
作業 |
50% |
每週一次,最低分作業不採計,特殊原因外不接受遲交。鼓勵和其他同學討論,但請寫下自己的證明和解答。 |
2. |
期中考 |
20% |
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3. |
期末考 |
30% |
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4. |
彈性 |
0% |
提出好問題、上台寫習題,或指出板書、習題、作業等書面數學錯誤,每次加總成績0.2分,最多20次。
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週次 |
日期 |
單元主題 |
第1週 |
9/6, 9/8 |
複數的幾何、共形映射、全純映射和例子、複微分、平面上的1-形式和積分。 |
第2週 |
9/13, 9/15 |
封閉1-形式、複數線積分、柯西-古薩定理、柯西積分定理。 |
第3週 |
9/20, 9/22 |
卷繞數、最大值原理、劉維定理、解析延拓、黎曼延拓定理、亞純函數、奇點、洛朗級數。 |
第4週 |
9/27, 9/29 |
零點與極點、全純函數序列、龍格逼近定理、留數定理、幅角原理、開映射定理。 |
第5週 |
10/4, 10/6 |
Mittag-Leffler定理、Weierstraß分解定理、Gamma函數。 |
第6週 |
10/11, 10/13 |
Gamma函數、黎曼zeta函數、調和函數。 |
第7週 |
10/18, 10/20 |
調和函數、圓盤上的Dirichlet問題、延森公式、整函數。 |
第8週 |
10/25, 10/27 |
Hadamard定理。期中考。 |
第9週 |
11/1, 11/3 |
函數的解析延拓、拓撲曲面、黎曼曲面、黎曼球。 |
第10週 |
11/8, 11/10 |
球面幾何、仿射代數曲線、複射影平面。 |
第11週 |
11/17 |
射影代數曲線、商構造。 |
第12週 |
11/22, 11/24 |
基本群、覆蓋空間、單值化定理(敘述)。 |
第13週 |
11/29, 12/1 |
黎曼映射定理、Carathéodory定理、黎曼球上的亞純1-形式。 |
第14週 |
12/6, 12/8 |
Schwarz-Christoffel定理、Schwarzian微分、zeta函數與質數的分佈。 |
第15週 |
12/13, 12/15 |
Stirling漸近式、Riemann-von Mangoldt明確式、質數分佈定理、環繞數。 |
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